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数学让俺初尝思考的乐趣

本文发表在 rolia.net 枫下论坛俺的小学是在文革中度过的,那时全国学生都差不多,即卷入各种政治运动,另外就是“学工、学农、学军”和参与各种体力劳动。文化学习大家都在混,大人们在忙着“抓革命、促生产、促工作”,白天上班晚上政治学习,对孩子的学习几乎是全民大放羊。

混完小学到了初中,文革已到后期,政治风云变幻依旧,或许是因人长大一些有点力气?中学安排的劳动强度比小学更大也更频繁,几乎经历了类似成人的体力劳动,简直成了准知青,工厂、农村、校办农场(俺们那叫分校,远离学校一块不小的地盘)...不少地方都留下了那代学生的足迹。但劳动之外的在校学习中,却因某种机缘而迷入了数学的几何世界。

具体咋开始的记忆已经模糊了,大概是学校正在教平面几何的内容,学过一些基本定理和推理方法,做过一点习题。某日有位平时经常一块玩的哥们不知从哪弄来一道几何证明题,问你们几个谁能证明出来,哥几个把题和图抄下拿回家做。第二天聚一块时都说做出来,并亮出各自的解法,结果那哥们说这算简单的,再给你们来道难的......几次之后,几位兴趣来了,都各自纷纷去找题来做和拿来挑战其他人,心态就跟现在玩电脑游戏相互挑战所建记录一样,而课内学习的相关功课因相对简单也就被超越了。

其实,那些几何题所用到的几何知识、公理/定理就那么几条,要求解的就是根据已知条件,证明有关线、角、线段、面积等图形要素之间的关系,比如相等、大于/小于、平行、直角、线的相交/垂直、交点/位置等等,但已知条件与所给的图形可能变化无穷。在交流解法时,虽然英雄所见略同的不少,但往往也会发现一些题有多种解法,有的是自己或别人没想到的:“哦,原来还可以这样解!”,于是刷题与交流的过程,自然而然地就变成了一种求知的快乐。当时的环境貌似没啥考试,或许考试很简单没留下什么印象。也许教育界对文化学习没设啥目标,学生毕业就上山下乡当知青了,学校咋还会在乎什么作业/成绩啥的,故无父母推娃,更不存在什么竞赛、奥数之类的了......现在回想起来,当年这种自推刷题纯粹就是找乐子来玩,除了比别人更早/更快解出来可以暂时炫耀一把外,完全没啥功利可言,但对俺却潜藏了重要的影响......

对俺个人而言,解题中对问题专注思考的初期体验,如同一个特喜欢探奇的孩子,一头钻进了未知的洞穴里去寻找另一个出口,每一种可能的解法就像在黑乎乎的洞中那些依稀可感的光线,诱人去追寻...窜过许多洞后就知道:有的洞有不止一个出口;有的洞中有洞或岔路纵横,一不小心就可能误入歧途无功而返。求证的过程与证明后的刺激与成就感让人痴迷,实际上,就是感受到了逻辑的力量、理性的光辉及其迷人之处,亦即思考的乐趣。

当时,为了找题来做,偷偷翻遍了家里大人的藏书,还真找出几本旧的参考书,里面有些题可以拿来做。同时也翻出过其它的物理、化学、语文等等方面的书,然后才发觉:原来父辈们当年同期所学过的知识,其实比俺们那代人所学的要深广丰富得多,俺们文革期间的课本充斥着如眼下插入广告一样的政治口号,真正有用的知识内容实在是简陋贫乏得很,基础教育真不如父辈那一代,也让处于青春反叛期的俺对父辈们多少产生了一种敬意,求知的欲望之门自此也被撬开......

行笔至此,虽往事如潮涌来,还是让俺回到数学话题吧,貌似从那时起,俺对几何证明的沉迷期约有一年多左右。迷到啥程度呢?做题不仅仅是在书桌上,很多是在别处,记得放学回家的路上,有时也在想题,突然有个类似灵感的念头闪现,就在路边用石子或棍儿划拉几下图案。还有当年大院里几乎家家都养鸡,俺们也养,喂鸡时也会陷入思考,不时拿着鸡饲料的搅棒棍儿在地上边想边划拉几下。若找到了解法,就赶紧找纸记录下来。那种专注与享受的体验,与大多数的思考沉迷者应该是相似的,类似后来那篇著名的报告文学《哥德巴赫猜想》中陈景润的一些桥段。

这段经历的影响,让俺从一个原本随大流而混的学生,变成了把学习当成一种乐趣,享受思考,所谓“追求上进”的学生。随着文革结束和恢复高考,后来又幸运的赶上了好时光,混入了大学。高考各科成绩具体不记得了,但清楚地记得前三门的分数从高到低是按数、理、化依次排下来的,太好记了嘛。对那段时期相关经历的描述,曾发过旧帖《独自一个人的散步》(#11064506@0),那是当年的真实写照。

除了可见的影响之外,就是对思维方式的影响。比如对问题喜欢从多个角度去思考,尤其面对比较困惑/复杂或难于理解的问题时,会尝试寻找尽量多的视角来看问题。这就是前面提到的,因为受了同一道题可能有多种解法的影响。印象较深的是,在解几何题时,发现所谓“辅助线”的神奇作用:对一个百思不得其解的图形,在某处画一条虚拟的辅助线后,眼里图案就发生了微妙变化,加上想象,解法就突然出现了,一个原本无从下手的问题就找到了突破口。甚至有的题只要能画出一条或两三条辅助线,答案立马昭然若揭、一目了然。也有的情况是将图形翻过来转过去,从不同角度和侧面去观察/想象,或同时加上辅助线,解法也就出现了希望......那就因为对问题的思考随着视角的变化,思维方式从原来被套牢的方向发生了转变,从而触发了新的思路/解法。后来读到《老子》说:“大音希声,大象无形”时,便会心一笑:能让人听出“大音”、看出“大象”的关键就类似那根神奇的辅助线嘛......

因兴趣所至,对老师在讲课中的一些精彩描述和比喻也会留下很深的印象。中学时有次数学老师请假,其丈夫临时代课,他是学校的领导之一,也是数学老师出身,老俩口都是复旦毕业的,清楚地记得他的一段描述:“你们(学生)学数学要学会想象,线是啥?线就是点的运动,点动起来就成了线;线动起来就成了面;面动起来就成了体(立体)”...很形象生动地描述了点、线、面的转化关系。毕竟是领导,思维层次貌似比其夫人高一截,其夫人平时上课虽讲的也不错,但没有这种提炼出来的启发金句。

后来到了大学工科,学高等数学时,因对一些数学概念的由来感兴趣,曾经去图书馆借了些有关数学发展史一类的书来读,把什么牛顿、莱布尼茨等等很多人物的说法扫它一通,居然有看小说的感觉...当时自己都觉得有点另类,因为周围没人看这种东东的,大部分不是做作业就是刷题,比如刷著名的吉米多维奇习题集,俺虽然也做过一点,但还是觉得更喜欢探究一些概念和定律/公式/方程的由来。后来才意识到,工科的教学追求的是实用、够用即可,不是像理科或纯数学专业那样要学生去探究由来或过于深入,俺那种喜欢探究至底的思维模式爱好,或许更适合去读理科或纯数学。当然,在工科的学习压力之下,俺也就随了大流,不花时间去探究那么多了,对一些东西因环境条件及时间精力有限而力所不逮,也只能心向往之......

有人或许会认为,平面几何这种初中甚至小学生都能学的东东,太简单,貌似也没啥用(无功利可图)。其实,在科学源头的古希腊,那时学数学并非现在一些人所认为的侧重于学计算,而是学对事物内在规律的推理能力。数学是西方科学与文明的重要核心,著名的《几何原本》的发行量曾仅次于《圣经》。在柏拉图学园(单词Academy的由来)大门上有题字:“不懂几何者不得入内”。因为,柏拉图认为:几何是一个训练自由人性的基本学科。没受过几何训练的人,不可能真正拥有一颗自由的心灵。够高大上吧?故而,有人开玩笑说:“在希腊人心目中,几何学和数学实际上是一门德育课程、一门政治课,学习几何的目标不是为了画图,而是要得到自由的灵魂;学习几何的目标不是使用,而是人性的涵养和训练。”

以上,就是俺与各位分享的一些回忆和随想,谢谢有耐心看完。更多精彩文章及讨论,请光临枫下论坛 rolia.net
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Replies, comments and Discussions:

  • 枫下家园 / 人到中年 / 数学让俺初尝思考的乐趣 +11
    • 此帖不知发哪合适,暂且搁这吧。
      • 俺一字不落都看完了
        • 谢谢有耐心看完
    • 好,好,好……先赞后👀你那老师都是复旦毕业的厉害啊,我记得我那些都是师范的
      • 估计都是有家庭成分问题的。。。我们中学的美术老师就是中央美院的,文革的时候被打断一条腿 。。。
        • 我那儿清一水的师范生当老师,唉
          • 正常来说应该都是师范出来的老师,我的中学也是省重点,有几个著名高校毕业的老师,来中学教书都是有原因的。。。
            • 成分不好下放的?看来这教书一直不是啥好职业
      • 省重点嘛,师资力量不够强还行?
        • 我也是啊…没你那么刻苦好学多思,像丁丁说的糊弄成分多。嘿嘿我还是学习委员兼数学课代表。就是不喜欢学习,部分原因是那些老师的水平不咋地,我觉得
          • 你这个是天才啊。。。敬仰一些。。。 +1
            • 惭愧啊,对你说的不推娃,我特有共鸣
          • 以为你在学习的时候,其实你在玩,以为你在玩的时候其实你在学习。 +1
            • 这个段子好…要是老师有水平能激发老看这种爱求知的学生才是幸运啊
    • 真是一个好学的好学生啊。。。想当年,都是糊弄。。。所以现在都没脸来逼小孩学习。。。 +1
    • 👍!
    • 感觉你那时比较孤独
      • Why? 看咋说吧,应该是思想可能孤独(外表看不出),但行为还算合群滴,呵呵......运动场、球场上的活跃分子咋能孤独起来?
        • 通过你的描述,感觉一个戴着大大的圆眼镜,豆芽菜的身板,背个大书包。经常一个人上下学。不苟言笑,独来独往。我们那时候除了玩儿就是玩儿。
          • 哈哈,恰恰相反,俺可是运动场上的主力,校运3k冠军呢,视力够格考飞行员的,住校期间,几乎每天保持2个小时甚至更多的运动量....
            • 噢,那还有救
    • 点赞老看无论情况如何恶劣,总能 tirelessly 积极让自己这颗蜡烛燃烧得热烈精彩。
      • 谢谢,老板的点赞就是燃烧的能源......
    • 您还有印象吗?

       

      • 嗯,印象太深了,现在回看,这哪是数学嘛,都不知是在读历史还是政治....
        • 就像昨天的事儿一样,一晃几十载了
    • 等下念给我娃听。。。回头告诉我娃的读后感
      • 先给娃做了些背景铺垫,然后讲了你文中的精髓部分,点线面以及辅助线。。。娃心领神会了。最后关键点娃不理解的是帕拉图的理论,为啥学习几何能够拥有自由的心灵,娃似乎Get不到。。。我说让我想想🤔️
        • 这是个大话题,得从科学源头的希腊三贤说起(苏格拉底、柏拉图、亚里士多德)。其科学观包括经验、知识、科学3个不同层面,科学是“无用”的知识,他们认为若强调有用就功利化为一种手段,那是对知识的一种贬低,
          • 正因“无用”才能真正做到自由,为自身的目的而存在。类似无欲则刚的理念。数学是可自推演绎发展的形式科学,不像理化那样源于客观的现实世界,故数学在其看来就是“无用”的知识,一个人要训练自己有一颗自由的心灵,就必须学习此类“无用”的知识...Got it?
            • 谢谢他叔,我转述给娃听吧,他娘没你这水平👍
    • 那个没有电视没有电脑的年代,连俺这个不愿学习的学生,也被题海淹没了。还有代数三角...
      • 原来老黄当年是模范三好学生啊,膜拜一下!
        • 俺的老右派的数学老师,一课一道题,讲的过瘾,听的也过瘾
          • 老师讲得好讲的别致有趣的东西,有可能会记住一辈子的,俺小学的一些老师就有这样的,以后有空再码了.....
            • 碰到一起探讨的小伙伴,好胜心好奇心加勤奋,兴趣越来越浓,越学越好,慢慢走向自己探求新题新解了。
          • 数学听出评书的效果。
    • 老看,不,看叔,看你贴子透出的年龄,俺可是比你年轻不少,开心开心...
      • 70后虾总好开森啊,哈哈,其实,现实中经常有比俺年轻10岁8岁跟俺站一块,别人很多时候看不出谁年轻,真的,俺有自信!曾有新来同事听俺说娃都毕业工作了,人家说俺骗他...
        • 好吧,我信,我信,一人开心不如两人开心么,哈哈哈。
          • 虾总,年轻有为啊!俺在你这种数学大拿面前就是班门弄斧,有砖照砸,别不好意思哈,楼上的花花有疑问,你给她解释一下如何?
            • 哪里,哪里。你看我的新昵称,怎么能跟一个爱钱的俗人谈数学呢? 数学难道不是够数钱用的就成了吗?
              • 实在,我从小热爱数学,一分钱一块水果糖,一毛钱可以买11块,that is it!
                • 买一毛的赚一分钱啊,厉害厉害!
              • 咋觉得虾的昵称叫“虾股金”或“虾股经”更贴切些?股市之虾若海中游龙,搂金满盈......
                • 不要真的这么俗么。虾钟钱,钱钟书,其实“钟”传递一次的话,俺还是爱书的么。
                  • 哦,既爱孔方兄又要立牌坊的意思?理解,理解......现在国内的大学者/学术大哼也不少,观念要与时俱进嘛,大俗才能大雅不是?哈哈😄.....
                    • 立牌坊忒难听,忒难听。虾钟钱此名,俗者见其俗,雅者见其雅,雅中有俗,俗中有雅... 我真是个起名字的天才! +2
                      • 嗯,感情上和骨子里还是雅的,理智上不妨俗或有时也不得不俗,虾天才是有目共睹的......
                        • 哈哈,玩闹,玩闹。
    • 牛人,请允许我葱白一下😂
    • 👍 我总觉得每天发帖的数量和这个ID的数学能力成反比,我就是个例子
      • 老猫的视角是个特殊的存在,这比数学能力更有价值,有时看问题,希望你来画根“辅助线”.....
        • 俺来腺掰一下高中立体几何次次满分,
          当年脑袋瓜里那空中辅助线画得瓜瓜的……第二名那女的80,后来还去了清华,发卷子的时候她下巴都快惊掉了。娘希匹,就是厌恶死了那倒霉的政治历史。死记硬背,老师就是群废物,教不出啥有趣味的东西。我早就退高中群了,就是不待见成天要和那些混吃等死的老师打招呼。不过想想这也不能怪他们,就那个世道
          • 想起俺中学最糟糕的一次政治考试:俩钟头的考试时间,俺刷刷一个来钟头就交卷了,后来和同学交流时才发觉,考卷是两面都印着试题的,俺只做了一面,根本就没想起翻过来做背面的题.....
            • 不像你风格,是不是最后还是全班总分第一。以后被传为老师们激励和教训后届学生的典型……激励是向曾经的那位🐂看齐,教训是让小子们记住答卷要看清楚
              • 貌似成绩不及格😭😭,是不是垫底最差就不知道,那时候对平时的考试还不兴搞排名....不过,俺骨子里是很排斥靠死记硬背学东西的,所以才花时间去理解,理解的过程不就是享受思考的乐趣么?
                • 老看这是民国的遗风,脑补一下你在那些右派大拿的课堂上是一副如何痴呆的形象。就像牛美的父母在钱伟长的课堂上那般孜孜不倦乐此不疲地哈哈哈
                  • 混文凭时俺还真的恶补了不少民国时期的人文书籍,尤其是文字营养,觉得49/50以后的30年,尤其是文革实际上应该是中国人文的断代史,人性的蜕变史.....
                    • 我父母那个研究院,文革前的理工科大学生基本是排名前十大学,研究型的学痴比比皆是,家里的成份基本黑五类左右。文革那些年,全都荒废了。以后的大学生,素质能好过这一批的不多。一直到现在,所以我觉得中国的科技靠自力更生,基本没戏
    • 👍
    • 应该是数学博导的人生,这么好爱数学
      • 呵呵,人生若可重来,谁知会发生什么?否则不妨试试,换个梦做做看....
    • 有点过度拔高经典几何的作用。经典几何的路数有限,能玩的花样基本上都被人总结过了。我家领导就没有做不出的几何题,随便什么层级的。不过轮到微积分,还是经常被我碾压。 +1
      • 你是数学教授吗?微积分还能记得,一般人大二就忘光了。
        • 会做微积分题目没有什么了不起,会背几个基本公式就行了。能知道里面来龙去脉才是真“懂”
        • 以前工作要用,没忘
      • 厉害。每年国际奥数竞赛都还有几何题
    • "女人也许会欺骗你,兄弟也许会背叛你,但数学不会,不会就是不会!" +1
      • 赞👍!语文与数学的高妙二合一!
    • 想当年参加市里的奥数培训,什么数论啊啥的做了无数的题,后来老师怎么劝,考大学时也不想考数学系
      • 是刷题刷累还是刷伤了?跟拿到10级或表演级钢琴证书就砸琴弃弹的可以同病相怜....
    • 对数学的兴趣,
      和学数学的天分,是在基因里的~~我爸妈没遗传给我,但可能遗传到我家老大身上了~~虽然这家伙对学啥都没什么兴趣,除了打游戏~但这么多科目里,他觉得数学是最容易也相对有趣的~~我是看到数字就头大的主,以前数学成绩中不溜,几何一直比代数好~~但到高三的解析几何我就晕菜了~
      • 嘘~~,千万别让你的学生知道哈,否则,师道尊严难保......牛美每天靓丽上堂,学生们眼里哪有老师,只有偶像或女神.....
        • 我教语文的,数学不好应该的~😂😂😂
          • 我初中那大妈语文老师,读俺的作文,明明是雨果曾说过……她读成了,雨果曾,说过。从此作文的名人名言,全部都自己编一堆应景的,反正她们也不知道。不过这肯定逃不过牛美的妞👀
            • 一样一样~~我的英语老师还把8 feet man翻译成八只脚的男人呢~
              • 原来我们都是被误人子弟的😭😭
      • 我高中立体几何每次考试基本都是满分,而且从不画图,一切运算都在脑子里想象完成;代数就不行了,勉强70分 +1
        • 厉害,形象思维能力强于抽象思维?
    • 如果学校的数学老师能有你这样对数学的思考和兴趣,一定会启发学生对数学的重新认知,让学生收益终身
      • 呵呵,你这一说,让俺觉得来生不去当数学老师简直是辜负了生命.....
        • 回顾自己当年同学,有几个因为数学好进师范的?
          • 俺班数学、物理成绩最好的两位都进了北大分别读数学和物理,现在米国一个是大学教授,一个是IT大拿.....
            • 我是想说,不是“数学难学”,“我天生没有数学细胞”,而是大多数人没有遇到合格的数学老师——更不用说好的数学老师 +1
              • 是这样的。古代帝王要给自己的王子,王孙找优秀的私塾老师就是这个道理。
    • 给老看👍,老看既有理工男理性,又有文科生的烂漫情怀,总能从生活中小事情找到乐趣,夏天一个拔蒲公英都辣么专业有趣味。老看人生最大成功,就是能让自己每天都快乐,就一点
      有时候话太多:)
      • 谢逗忠告!胡萝卜和大棒俺都笑纳.....其实哪有你说那么好,只不过窝在这天寒地冻的北极之地,聊以自娱自乐罢了,否则会有变态危机啊....
    • 看看这脑子, 太好用了!👍😀。我的大学数学考试基本都要补考才能勉强及格😂。高中时期俺的数学几乎第一, 但一上大学就放飞自己了😅😂
      • 暴露了,一入大学就开始拍拖.....男朋友真是的,作业、考试也不帮帮....不过,那是幸福的代价,值得!
        • 哈哈(∩_∩)
      • 我也是,从小就不喜欢数学,内心其实文科生。高二的时候记得解析几何,考了39分。 +1
        • 凭数学39分也能进IT成大拿的,必是天才无疑!
        • 哈哈, 咱难兄难弟啊~
    • 好学之人,赞!
    • 披着羊皮的狼
      披着理工男外衣的文学青年
      • 错鸟,你这是羊头狗肉吧?按你所说,俺应该是披着🐺皮的🐑才对嘛,呵呵.....
    • 原来说好的在这里,看着看着就好像自己也回到了过去,马克一下,以后还可以回来再看
      • 嗯?说好的啥?
        • 前几天开始就期待着你的大作,天天等,居然当天会错过。
          • 哦,你说的是那天俺提的什么主题是吧?呵呵,不是现在这篇,这是计划外的,那是另一个东东还没开始码字呢,酝酿ing,但预计假期多少可以写点出来吧.....仍可继续期待,呵呵.....
            • 这仅仅是头盘,那主菜该多丰富呐
    • 顺推荐看着油管时,不知怎就出来一印度九年级题,想着不拿纸笔能做,结果没做出来 :(
      • 呵呵,几何问题的魅力就在于不仅仅是抽象的逻辑推理,还有形象思维和空间想象,且需要有动态的变化,不能拘泥于静态的眼光去观察图形,这对思维方向的灵活多样化是一种很好的训练....
      • 又是辅助线
        • 嗯,除了辅助线,还有对图形的腾挪/翻转想象......实际中若不拿东西/纸笔来划一下,单凭想象有时hold不住....
          • 有个 hardest easy geometry question 几何题非常绝,不知道你做了没有。我是用 trigonometry 做的
            • 应该没有,实际上俺中学以后就没怎么做几何题,得鱼忘筌了......
    • 高中学几何,好像就没有做不了的题。几何这个东西就是天生的,看一眼那个图就知道是个什么题和怎么解了,根本不需要看题不需要思考的,答案自然就有了
      • 呵呵,你就是个天才!也许,还没遇上有挑战的难题,它们都绕着你走....
        • 吹牛不上税,😄2020再不吹几把就真没机会了 +1
      • 人生在世有几何,何必苦苦学几何?学了几何能几何,不学几何又几何?
        • 不识几何却奈何,若有奈何又如何?不知如何却为何,若懂为何曾几何?
          • 汪曾祺写过一篇抗战时期跑警报的散文,西南联大的学生在后山防空洞的墙壁上写下 人生几何,恋爱三角 这样的醒世恒言。。。
            • 确实是啊。例如,古人写诗词的时候,也有多数处于困境,例如,落榜,被贬,失意的时候,写出来的才是惊世之作。安逸的生活和环境,很少会有传世之作。当然,虽然有那个意境,但是,他如果有点放弃自己的人生的态度,也是写不出什么来的。
              • 嗯,有道理.....楼下专攻古典诗词的山贼估计也同意.
                • 😄😄我也是,昨晚“有感而发”,写了这么一堆“何”。。。平时,我就写不出来的啦😂🤣😂……
    • 赞👍 你真棒 能够专心致志 喜爱一个东西,福气!
      • 谢古墓派掌门大驾光临!诗词天地之大和玄妙,与数学庙堂同理或许更甚,山贼早就均有所持,福气满盈偶有侧漏,呵呵......
    • +1 也转贴个数学的,Marko Rodin, Vortex Based Math